遗传范畴的 tilting 对象给出 $𝐦𝐨𝐝_{B}$ 的可裂 torsion pair

先说明 $X ∈ 𝒯 ∩ ℱ$ 必然是零元.

若不然, 则 $\mathrm{Ext}^∙ (T, X) =0$, 由厚子范畴的二推知 $\mathrm{Ext}^∙ (X, X) =0$.

继而对 $X$ 构造典范正合列.

1. (构造可裂的六项正合列). $𝒯$ 部分是 $e_X : (T,X) ⊗_B T → X$ 的像. 考虑六项正合列

   $$ \begin{bmatrix} 0 & \rightarrow & \left( T,\operatorname{im} e_{X}\right) & \to & ( T,X) & \rightarrow & \left( T,\frac{X}{\operatorname{im} e_{X}}\right) & & \\ & & \operatorname{Ext}^{1}\left( T,\operatorname{im} e_{X}\right) & \rightarrow & \operatorname{Ext}^{1}( T,X) & \rightarrow & \operatorname{Ext}^{1}\left( T,\frac{X}{\operatorname{im} e_{X}}\right) & \rightarrow & 0 \end{bmatrix}. $$

   今断言 $(T, \operatorname{im}e_X) → (T,X)$ 是同构, 下只需证明满射. 实际上, 任给定 $φ : T → X$, 考虑

   $$ Φ : T → (T,X) ⊗_B T → X,\quad t ↦ φ ⊗ t. $$

   由 $e _X(Φ) = φ$, 得 $φ$ 通过 $e_X$ 分解, 进而通过 $\operatorname{im} e_X$ 分解.

2. (证明 $𝒯 ⊆ \ker \mathrm{Ext}^1(T,-)$). 注意到遗传范畴中 $\mathrm{Ext}^1$ 右正合, 且 $\operatorname{im}e_X$ 是 $T^n$ 的商对象.

3. (证明 $t^2 = t$). 下证明 $e_{\operatorname{im} e_X}$ 的单射部分 $\operatorname{im} e_{\operatorname{im} e_X} ↪ \operatorname{im} e_X$ 是同构. 考虑交换图

   $$ \begin{bmatrix} \left( T,\operatorname{im} e_{X}\right) \otimes T & \rightarrow & \operatorname{im} e_{\operatorname{im} e_{X}} & \hookrightarrow & \operatorname{im} e_{X}\\ \sim \downarrow \ \ & & ⤵ & & ⤵ \\ ( T,X) \otimes T & \twoheadrightarrow & \operatorname{im} e_{X} & \hookrightarrow & X \end{bmatrix}. $$

   此时 $\operatorname{im} e_{\operatorname{im} e_X} ↪ \operatorname{im} e_X$ 是满的, 因此是同构.

4. (证明 $ℱ ⊆ \ker \mathrm{Ext}^0(T,-)$). 选取 torsion-free 部分 $\frac{X}{\mathrm{im}(e_X)}$. 考虑如下正合列:

   $$ \begin{bmatrix} 0 & \rightarrow & {\color{red}\left( T,\operatorname{im} e_{X}\right)} & {\color{red}\xrightarrow{\sim }} & {\color{red}( T,X)} & \rightarrow & \left( T,\frac{X}{\operatorname{im} e_{X}}\right) & & \\ & & {\color{blue}\operatorname{Ext}^{1}\left( T,\operatorname{im} e_{X}\right)} & \rightarrow & \operatorname{Ext}^{1}( T,X) & \rightarrow & \operatorname{Ext}^{1}\left( T,\frac{X}{\operatorname{im} e_{X}}\right) & \rightarrow & 0 \end{bmatrix}. $$

   蓝处为零, 红处为同构. 此时 $(T,\frac X{\mathrm{im}(e_X)})=0$.

5. (证明 $\mathrm{Hom}(𝒯 , ℱ) =0$). 由 $(𝐚𝐝𝐝 (T), ℱ)=0$, 以及左垂直对商封闭.
6. (证明 $\ker \mathrm{Ext}^1(T,-) ⊆ 𝒯$). 对任意 $M ∈ \ker \mathrm{Ext}^1(T,-)$, 易知 $\mathrm{Ext}^∙ (T, M / \operatorname{im}e_M) = 0$. 由 $T$ 生成 Serre 子范畴, 得 $(M / \operatorname{im}e_M) = 0$, 即 $M ∈ 𝒯$.
7. (证明 $\ker \mathrm{Ext}^0(T,-) ⊆ ℱ$). 类似地, 若 $N ∈ \ker \mathrm{Ext}^0(T,-)$, 则 $\mathrm{Ext}^∙ (T, \operatorname{im}e_N) = 0$.

最后说明这一构造的函子性. 显然 $e_X$ 是函子的, 故 $𝒯$ 部分的构造是函子的. 因此, 典范正合列是函子的.

回顾此处. 证明的前半部分没有使用 $A$ 是环这一条件. 记 $p.\dim 𝒜$ 是范畴 $𝒜$ 的投射维数, 则

$$ gl.\dim B ≤ p.\dim 𝒜 + 1 ≤ 2. $$