Happel 的导出等价定理

Chencheng Zhang
April 27, 2025

Abstract

关于 BB 定理的若干证明.

  1. (BB 定理的原始证明). 函子 $(T,-)$ 建立了 $𝐚𝐝𝐝 (T)$ 与 $𝐩𝐫𝐨𝐣 (\mathrm{End}(T_A))$ 之间的范畴等价. 若 $T$ 是 tilting 模, 则这一范畴等价可以扩大至商对象上, 即 $𝒯 ≃ (T, 𝒯)$. 类似的检验对 $\mathrm{Ext}^1(T,-)$ 奏效. 注意: $p.\dim T ≤ 1$ 时, $(T, - )$ 与 $\mathrm{Ext}^1(T,-)$ 分别是左正合与右正合函子.
  2. (Happel 的导出等价定理) 这将结论推广至投射维度有限的 tilting 对象.
  3. (谱序列方法). 这是对 Happel 导出等价定理的完善, 其更精细地给出导出等价中轴复形的对应关系.

第一部分证明待补全.

Happel 导出等价定理

以下 $𝒜$ 是有足够投射的 Abel 范畴.

若 $T ∈ 𝒜$ 满足 $\mathrm{Ext}^{≥ 1}(T) = 0$, 则局部化 $C^b(𝐚𝐝𝐝 T) ↣ C^b𝒜 → D^b𝒜$ 诱导的态射

$$ K^b(𝐚𝐝𝐝 (T)) → D^b 𝒜 $$

是全忠实的嵌入.

见此处.

$𝒜$ 的整体维度有限, 当且仅当局部化函子诱导的 $K^b(𝐩𝐫𝐨𝐣(𝒜)) ≃ D^b(𝒜)$ 是范畴等价.

略.

记 Abel 范畴 $𝒜$ 有足够投射且整体维数有限. 若存在 $T ∈ 𝒜$ 满足 $\mathrm{Ext}^{≥ 1}(T,T) = 0$, 记 $B = \mathrm{End}(T_A)$. 此时, 以下 tilting 函子给出范畴等价:

$$ (T,-)_A : 𝐚𝐝𝐝 (T) ⇆ 𝐩𝐫𝐨𝐣 : (- ⊗ _BT). $$

特别地, 以下是三角等价 (右侧是导出等价):

$$ \begin{bmatrix} \mathbf{add}( T) & & K^{b}(\mathbf{add}( T)) & \xrightarrow[\sim ]{\text{lem.}} & D^{b} 𝒜 \\ {\small( T,-)} ⇅ {\small -⊗ _{B} T} & ⇒ & ⇅ & & ⇅ \\ \mathbf{proj} & & K^{b}(\mathbf{proj}) & \xrightarrow[∼ ]{} & D^{b}( B) \end{bmatrix}. $$

使用上述引理即可.

谱序列方法

经典的 BB 理论见此章节. 以下谈论的 tilting 模是投射维度有限的, 见宫下洋一开创性的工作.

BB 谱序列

(投射维数有限的 Tilting 对象). 给定有限维代数 $A$ 与 $T ∈ 𝐦𝐨𝐝_A$. 称 $T$ 是有限维度的 tilting 模, 若

  1. $p. \dim T < ∞$;
  2. $T$ 的相对 $𝐚𝐝𝐝(T)$-内射维度有限;
  3. $\mathrm{Ext}^{≥ 1}(T,T) = 0$.

简单地看, tilting 模描述作以下资料 $(T, A, A^∙ → T, A → T^∙)$. 其中

  1. 相对投射分解 $A^∙ → T$ 长度有限, $A^∙ ∈ C(𝐚𝐝𝐝 (A))$;
  2. 相对内射分解 $A → T^∙$ 长度有限, $T^∙ ∈ C(𝐚𝐝𝐝(T))$.

默认右模. 记 $B = \mathrm{End}(T)$, 则 $T ∈ 𝐦𝐨𝐝_{B^{\mathrm{op}}}$. 特别地, ${}_BT_A$ 是双模.

($T$-对偶). 今定义反变函子 \begin{equation} (-, T) : 𝐦𝐨𝐝_A → 𝐦𝐨𝐝_{B^{\mathrm{op}}},\quad M ↦ (M,T). \end{equation}

以下是范畴等价 (记 $A' := \mathrm{End}(_BT)$, 显然这是 $A$-代数):

  1. $(-, {}_BT_A)_A : 𝐚𝐝𝐝(A_A) ≃ 𝐚𝐝𝐝 (_BT),\quad 𝐚𝐝𝐝(_AA_A) ≃ 𝐚𝐝𝐝 (_BT_A)$;
  2. $(-, {}_BT_A)_A : 𝐚𝐝𝐝(T_A) ≃ 𝐚𝐝𝐝 (_BB),\quad 𝐚𝐝𝐝(_BT_A) ≃ 𝐚𝐝𝐝 (_BB_B)$;
  3. $(-, {}_BT_A)_{B^{\mathrm{op}}} : 𝐚𝐝𝐝(_BB) ≃ 𝐚𝐝𝐝 (T_A),\quad 𝐚𝐝𝐝(_BB_B) ≃ 𝐚𝐝𝐝 (_BT_A)$;
  4. $(-, {}_BT_A)_{B^{\mathrm{op}}} : 𝐚𝐝𝐝(_BT) ≃ 𝐚𝐝𝐝 (A'_A),\quad 𝐚𝐝𝐝(_BT_A) ≃ 𝐚𝐝𝐝 (_AA'_A)$.

将以上左右函子统一记作 $(-)^T$.

实际上, 上述 $A' ≃ A$, 见下一定理.

(对偶的投射分解, 证明). ${_B}T$ 是 tilting 模. 相应地,

  1. $A^∙ → T$ 给出 $B$ 的 $𝐚𝐝𝐝 (T)$-相对内射分解 $B → (A^∙)^T$;
  2. $A → T^∙$ 给出 $T$ 的 $𝐚𝐝𝐝 (B)$-相对投射分解 $(T^∙ )^T → T$.

(四链等长, 证明). 以下四者相同: $T_A$ 的投射维数, $_BT$ 的投射维数, $A$ 相对 $𝐚𝐝𝐝 (T)$ 的内射维数, $B$ 相对 $𝐚𝐝𝐝 (T)$ 的内射维数.

(Tilting 函子). 给定 tilting 模的要件 $(T_A,A^∙ → T,A → T^∙)$, 定义函子

  1. (右正合, 左伴随, 左导出) $G(-) := - ⊗_B T : 𝐦𝐨𝐝 _B → 𝐦𝐨𝐝 _A$;
  2. (左正合, 右伴随, 右导出) $F(-) := (T, -)_A : 𝐦𝐨𝐝 _A → 𝐦𝐨𝐝 _B$.

由维数结论, $G_{< -n} := L_{< -n}G$ 与 $F^{> n} := R^{> n}F$ 消失.

关于谱序列, 见此文.

(BB 谱序列, 证明). 存在函子的谱序列使得对任意 $M ∈ 𝐦𝐨𝐝 _A$,

$$ E_2 = (L_{-p}G ∘ R^q)F(M) ⇒ H^{-p+q}(M). $$

此处 $H^{0}(M) = M$, 且 $H^{≠ 0}(M) = 0$.

对偶地, 有

$$ \mathrm{Ext}^{q} (T, \mathrm{Tor}_{p}(N,T)) ⇒ H^{-p+q}(N). $$

以上谱序列是有界的第二(四)象限谱序列, 并非传统意义下的 Grothendieck 谱序列.

(边界映射). 考虑 $n ≥ 3$, 则有

对 $\mathrm{Ext} ∘ \mathrm{Tor}$ 进行类似的讨论, 得八处 $0$ 与四处同构:

  1. $\mathrm{Tor}_{0, -1}^B(\mathrm{Ext}_A^n(T, M), T) = 0$,
  2. $\mathrm{Tor}_{-n, -n+1}^B(\mathrm{Ext}_A^0(T, M), T) = 0$,
  3. $\mathrm{Ext}^{0,1}_A(T, \mathrm{Tor}^B_{-n}(T, N)) = 0$,
  4. $\mathrm{Ext}^{n}_A(T, \mathrm{Tor}^B_{0, -1}(T, N)) = 0$,
  5. $\mathrm{Tor}_{-2}^B(\mathrm{Ext}_A^n(T, M), T) ≃ \mathrm{Tor}_{0}^B(\mathrm{Ext}_A^{n-1}(T, M), T)$,
  6. $\mathrm{Tor}_{-n}^B(\mathrm{Ext}_A^{1}(T, M), T) ≃ \mathrm{Tor}_{-n +2}^B(\mathrm{Ext}_A^{0}(T, M), T)$,
  7. $\mathrm{Ext}^{2}_A(T, \mathrm{Tor}^B_{-n}(N, T)) ≃ \mathrm{Ext}^{0}_A(T, \mathrm{Tor}^B_{-n+1}(N, T))$,
  8. $\mathrm{Ext}^{n}_A(T, \mathrm{Tor}^B_{-1}(N, T)) ≃ \mathrm{Ext}^{n - 2}_A(T, \mathrm{Tor}^B_{0}(N, T))$.

(通常的 BB-定理). 取 $n = 1$, 即 $\mathrm{Tor}^B_2(-,T)$ 与 $\mathrm{Ext}_A^2(T,-)$ 消失. 此时有

导出等价的细化

(支撑). 回顾原始版本的 Brenner-Butler 定理, $\{ℱ,𝒯,𝒳,𝒴\}$ 作为导出范畴的全子范畴, 可通过函子的 $\ker$ 等价地定义. 对一般的 tilting 模, 定义推广

  1. $S^p := ⋂_{0 ≤ k ≤ n}^{k ≠ p}\ker \mathrm{Ext}_A^k(T, -)$;
  2. $S_{-p} := ⋂_{0 ≤ k ≤ n}^{k ≠ p}\ker \mathrm{Tor}^B_k(-, T)$.

(Brenner-Bulter 定理的导出等价部分). 存在全子范畴间的等价 \begin{equation} F^t : S^t ≃ S_{-t} : G_{-t}. \end{equation} 对经典的 tilting 理论 ($t ∈ \{0,1\}$), 上述即

  1. $(T,-) : 𝒯 ≃ 𝒴 : - ⊗ T$;
  2. $\mathrm{Ext}^1(T,-) :ℱ ≃ 𝒳 : \mathrm{Tor}_1(-, T)$.

对 $M ∈ S^t$, $E_2 = E_∞$ 仅剩下 $G_∙ F^{t}M$ 一列. 该列是 $M$ 同调群的滤过, 从而

  1. $G_{-t}F^t M = M$, 以及
  2. $G_{-(≠ t)}F^t M = 0$.

另一侧对称.

(王憲鍾序列). 若谱序列 $E_2$ 仅两列 (或仅两行) 非零, 则称之王序列. 对一切 $0 ≤ i < j ≤ n$ 定义

  1. $S^{i,j} := ⋂_{0 ≤ k ≤ n}^{k ≠ i,j}\ker \mathrm{Ext}_A^k(T, -)$, 与
  2. $S_{-i,-j} := ⋂_{0 ≤ k ≤ n}^{k ≠ i,j}\ker \mathrm{Tor}^B_k(-, T)$.

今取 $M ∈ S^{i,j}$, 由谱序列的计算得

  1. 存在五项正合列 \begin{equation} G_{-j+1}F^jM ↪ G_{-i}F^iM → M → G_{-j}F^jM ↠ G_{-i-1}F^iM \end{equation}
  2. $G_{p-j+1}F^j M ≃ G_{p-i}F^i M$ 对 $p ≠ 0, -1$ 成立.
  3. $G_{-([0,n-(j-i)])}F^iM$ 与 $G_{-([(j-i),n])}F^jM$ 可能非零;
  4. 其余 $G_{-p}F^q M$ 必为 $0$.

BB 定理的原始证明

待补充.

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