有限维代数的预投射部分
遗传代数与无界 AR quiver
遗传代数的 AR quiver
本节假定 $k$ 是代数闭域. 此时, 有限维代数可以通过 quiver with relation 描述. 凡涉及遗传代数 (等价定义), 约定
- $Q$ 总是有限维, 连通 quiver;
- $A$ 是有限维, 连通, 基础的遗传代数.
对有限维代数, 遗传性不区分左右. 证明见此处.
若 $Q$ 有限维, 则 $Q$ 既无自环亦无定向环; 但 $Q$ 可能包含重边.
实际上, 以下是对应.
在同构的意义下, 以下两者是对应
- 有限维, 连通, 基础的遗传代数;
- 路代数 $kQ$, 其中 $Q$ 是有限维, 连通 quiver.
特别地, 从有限维, 连通, 基础的遗传代数得到 quiver 的方式是
- 任取幂等分解 $\{e_i\}_{i=1}^n$;
- 取矩阵代数 $A$, 使得 $a_{i,j} = e_i ⋅ A ⋅ e_j$;
- 由代数无环, 从 $\dim e_i ⋅ A ⋅ e_j$ 极小者开始构造连边 $\mathrm{Hom}_Q(i, j)$; 也可以通过 $\mathrm{Ext}^1(S(i), S(j))$ 的基表示.
(证明略). $kQ$ 的不可分解投射模具有如下以下性质:
- 不可分解投射对象间的态射必然是单的, 投射对象是 brick;
- $\mathrm{Irr}(P(j), P(i)) ≃ \mathrm{Ext}^1(S(i), S(j))$ 都以 $\mathrm{Hom}_{Q}(i,j)$ 为基;
- $Γ (kQ)$ 中不可分解投射对象所在的全子范畴同构于 $Q^{\mathrm{op}}$.
内射部分对偶.
(有限性初探, 证明). 对有限表示的 (未必遗传) 代数 $A$, $Γ(A)$ 无重边.
无限 AR 平移, 截面
先从以下例子开始.
给定 quiver $Q := [1 → 2 → 3]$. 记代数闭域上的路代数 $A= kQ$, 以及 AR quiver
注意到如下事实.
- $𝐩𝐫𝐨𝐣 ∩ Γ (A) ≃ Q^{\mathrm{op}} ≃ 𝐢𝐧𝐣 ∩ Γ (A)$.
- 所有箭头由 $Q^{\mathrm{op}}$ 关于顶点的反射得到.
以上 AR quiver 可视作无限 quiver (点集是 $ℤ × Q^{\mathrm{op}}$) 的一部分, 如下图所示.
对以上, $P(2) → A$ 通过反射得到 $A → I(2)$, 继续反射 $A → I(2)$ 得 $I(2) → A[-1]$.
对子图, 此处沿用子范畴与全子范畴的称呼.
- 称 $Q' ⊆ Q$ 是子范畴, 若 $Q'$ 是 $Q$ 的子图
- 称 $Q' ⊆ Q$ 是全子范畴, 若 $Q' ⊆ Q$ 是子图, 且 $\mathrm{Hom}_{Q'}(i,j) = \mathrm{Hom}_{Q}(i,j)$.
假定以下 quiver $Q$ 都是有限维连通的.
(quiver 的无界化). 给定 $Q$, 定义 $ℤ Q$ 如下.
- 顶点集是 Catersian 积 $(ℤQ)_0 := ℤ × Q_0$.
- 箭头集是 $S_1 ⊔ S_2$. 其中
- ($Γ$ 内的箭头). $S_1 := ℤ × Q_1$, 形如 $(n, α) : (n, x) → (n, y)$.
- ($Γ$ 外的箭头) $S_2$ 中箭头刻画如下: 若 $(n, α) : (n, x) → (n, y)$, 则作
$$ θ(n, α) : (n + 1, y) → (n , x). $$
简而言之, $(n + 1, y) \xrightarrow[\text{反射}]{θ (n , α)} (n, x) \xrightarrow{(n,α)} (n, y)$. 朝向与 AR quiver 一致:
$$ \begin{bmatrix} & & ( n,x) & & \\ & \nearrow & & \searrow & \\ ( n+1,y) & & \overset{\tau }{\dashleftarrow } & & ( n,y) \end{bmatrix} $$
约定 $ℤ Q$ 的横坐标向右减小.
定义 $ℤQ$ 上的两类运算.
- $τ : ℤQ → ℤQ ,\quad (n, ∙) → (n+1, ∙)$ 是向左平移.
- $θ : ℤQ_1 → ℤQ_1$ 是朝向 $τ$ 的反射 (往左偏移).
对 $A_3$ 而言, $Q^{\mathrm{op}} = Γ (A) ∩ 𝐩𝐫𝐨𝐣$ 是类似截面的东西. 以下是对 AR quiver 截面的公理化定义.
(截面). 称 $Σ ⊆ ℤ Q$ 是子图, 若
- (连通无环的全子范畴). $Σ$ 是连通, 无环的全子范畴,
- (截面). 对任意 $x ∈ Q_0$, 存在唯一的 $n ∈ ℤ$ 使得 $(n, x) ∈ Σ$.
- (道路封闭). 对 $ℤ Q$ 中的任意道路, 若起点与终点属于 $Σ$, 则道路上的所有点都属于 $Σ$.
道路封闭性可归结为如下引理.
(易证). 对 $Γ (A)$ 中箭头 $α : x → y$, 若 $(n, x) ∈ Σ$, 则有如下二择:
- $(n, y) ∈ Σ$,
- $(n-1, y) ∈ Σ$.
$ℤ Γ (k [∙ → ∙ → ∙])$ 的截面可以是 $𝐩𝐫𝐨𝐣 ∩ Γ$, 也可以是
$$ (0, I(1)) → (0, I(2)) → (-1, A). $$
以下是一些组合学的事实, 证明从略.
- ($ℤ$ 保持无环图). 若 $Q$ 无环, 则 $ℤ Q$ 亦无环.
- (截面的延拓性质). 取 $ℤ Q$ 的截面 $Σ$, 则截面的嵌入诱导了同构 $ℤ Σ ≃ ℤ Q$.
- 这说明, 可以从任意截面复原 $ℤQ$ 的信息.
- 记 $T_1$ 与 $T_2$ 是同一棵无向树的两种定向, 则 $ℤ T_1 ≃ ℤ T_2$.
- 这也是 Coxeter 反射的性质.
- 给定环 $C$, 假定其定向是无环的. 此时 $ℤ Q$ 的结构唯一取决于 $C$ 中顺时针箭头个数与逆时针箭头个数, 与具体的排列无关.
遗传代数的无限 AR 平移
选定 AR quiver $Γ$, 使用
- $𝔓 = 𝐩𝐫𝐨𝐣 ∩ Γ$ 表示投射对象所在的全子范畴.
- $ℑ = 𝐢𝐧𝐣 ∩ Γ$ 表示内射对象所在的全子范畴.
对有限表示的遗传代数 (不必选择代数闭域), 有如下引理.
($𝔓$ 是 $ℤ 𝔓$ 的截面, 证明). 给定连通, 有限表示的遗传代数.
- $𝔓$ 是 $ℤ𝔓$ 的截面;
- 特别地, $𝔓 ≃ Q^{\mathrm{op}}$;
- $Γ$ 是 $ℤ𝔓$ 的全子范畴.
内射对象的命题对偶.
由命题的证明, 对有限维连通基础 (但不必有限表示) 的遗传代数 $A = kQ$,
- $ℤ 𝔓$ 是 $Γ (A)$ 的无环连通分支;
- $Q^{\mathrm{op}} ≃ 𝔓 ↪ ℤ 𝔓$ 是截面;
- $M ∈ ℤ 𝔓$ 当且仅当存在 $k$ 使得 $τ^k M ∈ 𝔓$.
(Kronecker quiver).
有限维代数的预投射分支
遗传代数的预投射与预内射分支
在介绍预投射与预内射模前, 可先熟悉 Kronecker quiver 的 AR quiver.
(遗传代数的预投射 (postprojective) 部分, 预内射 (preinjective) 部分, 正规 (regular) 部分). 对不可分解模 $M$.
- 称 $M$ 预投射, 若存在 $k$ 使得 $τ^k M$ 是投射的;
- 称 $M$ 预内射, 若存在 $k$ 使得 $τ^{-k} M$ 是内射的;
- 称 $M$ 正规, 若 $M$ 既非预投射模亦非预内射模.
对遗传代数, 其 AR quiver 拆分成以下三部分,
- 预投射部分的 AR quiver 同构于 $ℤ_{≤ 0}Q^{\mathrm{op}}$ (向右延申),
- 预内射部分的 AR quiver 同构于 $ℤ_{≥0} Q^{\mathrm{op}}$ (向左延申),
- 正规部分的 AR quiver 未必无环, 未必连通, 未必有限.
总体而言, 预投射部分与预内射部分是相对规整的, 正规部分是稍显混乱.
非遗传代数的预投射分支: 怪例子
对非遗传代数, 预投射 (预内射) 模的定义稍有不同. 该定义从预投射 (预内射) 分支出发.
(预投射分支). 称连通分支 $Δ ⊆ Γ (A)$ 是预投射的, 若
- $Δ$ 无环,
- 任意 $M ∈ Δ$, 存在 $k$ 使得 $τ^k M$ 投射.
称预投射分支中的模为预投射模. 预投射模必然在有限次 AR 平移后变作是投射模.
不同于遗传代数整齐的预投射分支, 非遗传代数的预投射分支与投射模存在如下反常现象:
特别地, 存在预内射但非预投射的投射模, 也存在既非预投射, 亦非预内射的投射模.
除了怪例子, 也有一些极好的例子: 以下引理给出有限维代数有限表示的充要条件.
(证明). 对连通的有限维代数 $A$, 以下等价:
- $A$ 有限表示;
- $Γ(A)$ 存在某个连通分支 $Δ$, $Δ$ 是有限集;
- $Γ(A)$ 存在某个连通分支 $Δ$, $Δ$ 中对象的合成列长度有一致上界.
因此, 若连通代数的 AR quiver $Γ$ 存在某个无限的连通分支, 则所有连通分支均无限.
单向性
以下仍选取 bound 路代数 $kQ / I$, 并假定预投射部分存在. 先证明一则重要的引理.
(不可约态射链的左起点, 证明). 若 $M$ 预投射, 则存在单的投射模 $P$ 使得 $P → \cdots → M$ 是一列不可约态射. 特别地, 极大的 $\cdots → M$ 必然以投射单模为起点.
可对照此文中的 $B = \mathrm{End}(T_A)$, 例如对投射对象 ${\color{cyan}\substack{1 \\ 1 \quad 1 \\ 1}}$ 通过如下不可约态射与投射单模连接:
$$ {\color{cyan}\substack{0 \\ 0 \quad 1 \\ 0}} → {\color{cyan}\substack{0 \\ 0 \quad 1 \\ 1}} → \substack{1 \\ 0 \quad 1 \\ 1} → {\color{cyan}\substack{1 \\ 1 \quad 1 \\ 1}}. $$
(左邻域). 称 $Γ (A)$ 中点 $x$ 属于 $y$ 的左邻域, 若存在 $x → y$ 类型的不可约态射. 依照距离, 定义
- $L_0(y) := \{y\}$;
- $L_1(y) := \{x ∣ x → y\}$, 即通常意义的左邻域;
- $L_{n+1}(y) := \{x ∣ x → y \ \ (x ∈ L_n(y))\}$;
- $L_∞ (y) := ⋃_{n ≥ 0} L_n(y)$.
(预投射分支的等价定义, 证明). 假定 $Δ ⊆ Γ (A)$ 是无环的连通分支, 以下是 $Δ$ 预投射的等价定义
- 任意 $M ∈ Δ$, 存在 $k$ 使得 $τ ^k M$ 投射;
- 任意 $M ∈ Δ$, $L_∞(M)$ 有界.
以上表明了每一预投射分支与预内射分支均是单边有界的. 利用这一单边有限性, 得如下态射空间的单向性.
(态射的单向性, 证明). 对预投射模 $M$, 唯 $L ∈ L_∞(M)$ 使 $(L, M)$ 非零; 对预内射模 $N$, 唯 $R ∈ R_∞(N)$ 使 $(M, R)$ 非零.
(证明). 预投射模和预内射模都是自垂直 ($\mathrm{Ext}^1(M,M) = 0$) 的 brick.
假若不可分解对象 $M$ 不是 brick, 或不是自垂直的, 则 $M$ 所在的连通分支既非预投射亦非预内射.
回归遗传代数
给定有限维, 连通, 基础的遗传代数, 不妨记作 $kQ$ ($Q$ 是有限维 quiver).
(有限表示遗传代数的等价定义). 以下是 $kQ$ 有限表示的等价条件.
- Gabriel 定理的等价表述, 例如 $Q$ 的无向化图是 $A_n$, $D_n$, 以及 $E_{6,7,8}$ 型的.
- 不可分解模的长度有上界 (见有限表示的充要条件).
- $Γ(A)$ 的某一预投射分支是预内射的.
- 所有不可分解模都是自垂直的 brick (见关键公式).
- 存在 regular 模 (既非预投射, 亦非预内射的模) (考虑根系).
称 $R$ 是正规模, 当且仅当 $R$ 既非预投射亦非预内射.
(正规模的结构). 给定非有限表示的遗传代数 $kQ$.
(AR 平移). 以下是 AR 平移:
分别记 $𝐏𝐩𝐫𝐨𝐣$, $𝐩𝐩𝐫𝐨𝐣$, $𝐏𝐢𝐧𝐣$, $𝐩𝐢𝐧𝐣$, $𝐫𝐞𝐠$ 是预投射 (含投射), 预投射 (不含投射), 预内射 (含内射), 预内射 (不含内射), 正规模通过有限直和生成的全子范畴. 此时 AR 平移与与逆平移诱导了范畴等价
- 初始的范畴等价 $τ : \underline{𝐦𝐨𝐝_A} ⇆ \overline {𝐦𝐨𝐝_A} : τ ⁻¹$;
- (预投射部分). 由以上, 得 $τ : \underline{𝐩𝐩𝐫𝐨𝐣} ⇆ \overline {𝐏𝐩𝐫𝐨𝐣} : τ ⁻¹$. 由单向性, $𝐩𝐩𝐫𝐨𝐣$ 间的非零态射不通过投射对象分解, $𝐏𝐩𝐫𝐨𝐣$ 间的非零态射不通过内射对象分解. 因此, 稳定范畴即原全子范畴.
- (正规). $τ : 𝐫𝐞𝐠 ⇆ 𝐫𝐞𝐠 : τ ⁻¹$ 证明类似.
- (预内射). $τ : 𝐏𝐢𝐧𝐣 ⇆ 𝐩𝐢𝐧𝐣 : τ ⁻¹$ 证明类似.