遗传代数与箭图

Chencheng Zhang
May 4, 2025

箭图 (不带关系)

箭图的基本要件

(箭图). 箭图定义作四要件 $Q = (Q_0, Q_1, s, t)$, 其中

  1. $Q_0$ 是点集;
  2. $Q_1$ 是边集;
  3. $s : Q_1 → Q_0$ 将边对应至来源;
  4. $t : Q_1 → Q_0$ 将边对应至去向.

简单地说, 任意 $α ∈ Q_1$ 形如 $s(α)\xrightarrow{α} t(α )$.

从范畴的视角看, 可以将 $Q_0$ 视作平凡道路集, 从而 $Q$ 是如下小范畴:

  1. (对象集). $𝖮𝖻 (Q) = Q_0$;
  2. (恒等态射). 对任意 $x ∈ Q_0$, 引入恒等态射 $\mathrm{id}_x$;
  3. (态射集). $𝖬𝗈𝗋 (Q) = ⨆_{k ≥ 0} Q_1^k$, 其中 $Q_1^k$ 表示长度为 $k$ 的道路, 具体地
    1. $Q_1^0$ 是全体恒等态射,
    2. $Q_1^1 := Q_1$,
    3. $Q_1^{k+1}$ 形如 $Q_1^k ∘ Q_1$;
  4. (复合律). 依照惯用右模的习惯, 所有箭头是右朝向的, $α ∘ β$ 合法当且仅当 $t(α) = s(β)$.

记 $Q^ →$ 是通常意义下的态射范畴, 则有三伴随函子

$$ (t ⊣ \mathrm{id} ⊣ s) : Q^→ \ \substack{⟶\\⟵\\⟶} \ Q. $$

(路代数). 令 $k$ 是域, 则 $k$-充实的范畴 $kQ$ 是路代数.

(有限性条件). 称 $Q$ 是有限的, 若 $Q_1 ∪ Q_0$ 是有限集; 称 $Q$ 是有限维的, 若 $kQ$ 是有限维代数.

容易检验, $kQ$ 有限维当且仅当 $Q$ 有限无环.

(关于单位元). 若 $Q_0$ 有限, 则 $kQ$ 有单位元.

直和分解

假定 $Q_0$ 有限, 则 $A := kQ$ 是有单位元的 $k$ 代数.

(幂等分解, 证明略). $kQ$ 的一个幂等分解表示作有限和 $1_A = ∑_{1 ≤ i≤ m} e_i$, 满足

  1. $e_i ⋅ e_j = e_i ⋅ δ _{i,j}$;
  2. 以上求和是极大的, 即, 不存在 $e_{i_0} = a +b$ 使得 $a^2= a$ 且 $b^2 = b$.

在相差一个代数自同构的意义下, 幂等分解是唯一的.

(正交幂等分解, 证明略). $kQ$ 的一个正交幂等分解表示作有限和 $1_A = ∑_{1 ≤ i≤ m} e_i$, 满足

  1. $e_i ⋅ A ⋅ e_j = (e_i ⋅ A ⋅ e_i) ⋅ δ _{i,j}$;
  2. 以上求和是极大的, 即, 不存在 $e_{i_0} = a +b$ 使得 $a^2= a$ 且 $b^2 = b$.

在相差一个代数自同构的意义下, 幂等分解是唯一的.

幂等分解与正交幂等分解是不同意义下的极小直和分解:

  1. 幂等分解对应 $Q_0$, 即, 将正则模 $kQ$ 写作不可分解投射模的直和;
  2. 正交幂等分解对应 $π_0(Q)$, 即, 将环 $kQ$ 写作连通环的直和.

(中心, 证明略). 记 $Z(A) : = \{r ∈ A ∣ ∀ x∈ A (rx=xr)\}$ 是代数 $A$ 的中心, 则 $Z(A)$ 的幂等分解对应 $A$ 的正交幂等分解.

(矩阵表示). 记正交幂等分解 $1 = ∑_{i ∈ Q_0}e_i$, 则 $A$ 有矩阵形式

$$ A ≃ (a_{i,j})_{|Q_0| × |Q_0|},\quad a_{i,j} := e_i ⋅ kQ ⋅ e_j. $$

项 $a_{i,j}$ 的基是 $i → \cdots → j$ 类型的道路. 在合适的置换下, 矩阵的每一对角分块对应代数 $A$ 的一个连通分支.

泛性质

以下假定 $Q_0$ 有限, $Q$ 连通. 此时 $A := kQ$ 是有单位元的连通 $k$ 代数.

函子 $k (-): 𝐐𝐮𝐢𝐯𝐞𝐫 → k𝐀𝐥𝐠$ 是自由函子, 其右伴随是遗忘函子.

(表示). 记函子范畴 $𝐑𝐞𝐩_k(Q) := 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(Q, 𝐌𝐨𝐝_k)$ 是 $Q$ 的 $k$-表示范畴.

通常使用 $(M,φ)$ 表示一个 $𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(Q, 𝐌𝐨𝐝_k)$-类型的函子, 写作

  1. $M : Q_0 → 𝐌𝐨𝐝_k,\quad i ↦ M_i$;
  2. $φ : Q_1 → 𝐌𝐨𝐝_k^→,\quad α ↦ φ _α$.

(Curry). 存在范畴等价 $𝐑𝐞𝐩_k(Q) ≃ 𝐌𝐨𝐝_{kQ}$.

依照模的定义, 有范畴等价 $𝐌𝐨𝐝_k ≃ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭_ℤ(k^{\mathrm{op}}, ℤ)$, 其中 $𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭_ℤ$ 是加法函子范畴. 此时 $$ \begin{aligned} 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(Q, 𝐌𝐨𝐝_k) &≃ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(Q, 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭_ℤ(k^{\mathrm{op}}, 𝐀𝐛))\\ &≃ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭_ℤ(ℤQ ⊗_ℤ k^{\mathrm{op}}, 𝐀𝐛)\\ &≃ 𝐌𝐨𝐝_{kQ}. \end{aligned} $$

表示范畴即路代数的模范畴!

(张量代数视角). 对 $B ∈ k 𝐀𝐥𝐠$, 集合的映射 $φ: (Q_0 ∪ Q_1) → B$ 能提升作 $k$-代数同态 $A → B$, 当且仅当

  1. 对 $i,j ∈ Q_0$, $φ(i) ⋅ φ(j) = δ_{i,j} ⋅ φ (i)$;
  2. 对 $α ∈ Q_1$, $φ(α) = φ (s(α)) ⋅ φ (α) ⋅ φ (t(α))$.

给定 $φ$. 视 $V:= kQ_1$ 为交换代数 $K:= kQ_0$-模, 此时得代数同态 $\widetilde{\varphi} : T_KV → B$. 由 $Q$ 的结合律得生成关系 $R$, 使得 $T_KV / R ≃ kQ$. 由于 $\widetilde{\varphi}(R) = 0$, 故 $\widetilde{\varphi}$ 通过 $kQ$ 唯一分解, 从而 $φ$ 可以唯一地提升作 $k$-代数同态.

投射分解

$kQ$ 投射维数 $≤ 1$ ($kQ$ 半单当且仅当 $Q_1 = ∅$), 极小投射分解见标准分解.

$i$ 向 $j$ 的连边正是 $\mathrm{Ext}^1(S(i), S(j))$ 的一组自由基, 见此处

模

以下假定 $kQ$ 是代数闭域中的有限维代数. Artin 代数的通用记号见此处.

(证明略). 以下刻画 $kQ$ 的单对象, 不可分解投射对象, 以及不可分解内射对象. 这三种同构类恰好以 $Q_0$ 为指标, 对 $i ∈ Q_0$

  1. 不可分解单对象 $S(i) := e_i ⋅ A ⋅ e_i$;
  2. 不可分解投射对象 $P(i) := e_i ⋅ A$;
  3. 不可分解内射对象 $I(i) := A ⋅ e_i$.

(证明略). 以下刻画 $kQ$ 中的 $\mathrm{Rad}$, $\mathrm{Top}$, $\mathrm{Soc}$, $\mathrm{Bot}$. 任取 $M = (M_∙, φ_∙)$

  1. $\mathrm{Rad}(M)$ 是 $M$ 的子对象:
    1. $i ∈ Q_0$ 处取值 $∑ \operatorname{im}(φ_{? → i})$,
    2. 态射继承 $φ_∙$, 此处 $φ_{i → j} : (\mathrm{Rad}(M))_i → (\mathrm{Rad}(M))_j$ 在子对象上良定义;
  2. $\mathrm{Top}(M)$ 是 $M$ 的半单商对象:
    1. $i ∈ Q_0$ 处取值 $⋀ \operatorname{cok}(φ_{? → i})$,
    2. 态射为 $0$;
  3. $\mathrm{Soc}(M)$ 是 $M$ 的半单子对象:
    1. $i ∈ Q_0$ 处取值 $⋂ \ker φ_{i → ?}$;
    2. 态射为 $0$;
  4. $\mathrm{Bot}(M)$ 是 $M$ 的商对象:
    1. $i ∈ Q_0$ 处取值 $⋁ \mathrm{coim}(φ_{i → ?})$;
    2. 态射继承 $φ_∙$, 此处 $φ_{i → j} : (\mathrm{Bot}(M))_i → (\mathrm{Bot}(M))_j$ 在商对象上良定义;

遗传代数

遗传代数的定义

以下定义中, $k$ 是任意交换环, $A$ 是任意 $k$ 代数.

(遗传代数, 证明). 称 $A$ 是 $k$ 上的遗传代数, 若以下等价命题成立.

  1. $A$ 整体维数 $≤ 1$;
  2. 有限生成投射模的子模投射;
  3. 投射模的子模投射;
  4. 理想是投射模;
  5. 内射模的商模内射;
  6. 特征模 $(_AA)^+ ∈ 𝐌𝐨𝐝_A$ 的商模内射.

对域上的有限维代数 $A$, 特征模函子可换用 $k$-对偶. 此时 $A$ 遗传, 当且仅当有限生成内射模的商模内射.

由遗传等价定义的证明过程, 遗传代数的投射模必是理想的余积.

右遗传代数的左理想平坦.

左理想 ${_AI} ↪ {_AA}$ 对应商对象 $(_AA)^+ ↠ (_AI)^+$. 由遗传等价定义的证明过程, 内射模 $(_AA)^+$ 的商对象 $(_AI)^+$ 仍是内射模, 从而 ${_AI}$ 是平坦模.

若环的左理想有限生成 (如域上的有限维代数), 则右遗传蕴含左遗传.

(左遗传但非右遗传的例子, 证明). 考虑矩阵环 $\binom{ℤ \ \ O}{ℚ \ \ ℚ}$, 则存在非投射 (但平坦) 的右理想. 同时这也是左 Noether 但非右 Noether 的例子.

(证明). 对遗传代数,

  1. 不可分解投射模之间的态射要么为零, 要么是单的;
  2. 不可分解内射模之间的态射要么为零, 要么是满的;
  3. 不可分解投射模是 brick;
  4. 不可分解内射模是 brick.

遗传代数的箭图表示

(遗传代数与路代数的相互转换, 证明略). 以下 $k$ 是域.

  1. 给定有限维连通无环的箭图 $Q$, 记 $A := kQ$ 是路代数, 则遗传代数 $A$ 对应的箭图同构于 $Q$;
  2. 给定有限维连通, 基础的遗传代数 $A$, 记 $Q$ 是 $A$ 对应的 quiver, 则有代数同构 $kQ ≃ A$.

(AR quiver 的投射的结构部分, 证明略). 对有限维, 连通, 基础的遗传代数 $A ≃ kQ$, 不可分解投射对象的不可约态射空间 $\mathrm{Irr}(P(i), P(j))$ 线性同构于 $e_j \frac{\mathrm{Rad}(A)}{\mathrm{Rad}^2(A)} e_i$. 特别地,

$$ |\mathrm{Hom}_{Q}(i,j)| = \dim \mathrm{Ext}^1(S(i), S(j)) ≃ \dim e_j \frac{\mathrm{Rad}(A)}{\mathrm{Rad}^2(A)} e_i ≃ |\mathrm{Hom}_{Γ (kQ)}(P(i), P(j))|. $$

因此, $Γ(A)$ 中投射对象所在的子图同构于 $Q^{\mathrm{op}}$

内射对象的类似表述略.

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