Notes on AR theory

Chencheng Zhang
April 19, 2025

Abstract

本篇速记总结一些常见的公式, 主要来源于ERTAA vol 1, ETAA 等. 目录如下.

AR 理论

Artin 代数的要件

模格

(子对象与商对象构成模格). 给定域 $k$ 上的 Artin 代数, 则有限表现模 $M ∈ 𝐦𝐨𝐝_A$ 的所有子对象构成模格 (商对象亦然). 使用

  1. $(∩ , +)$ 表示子对象模格,
  2. $(∧ , ∨)$ 表示商对象模格.

此处 $∩$ (更小的子对象) 与 $∨$ (更大的商对象) 由拉回定义; $+$ (更大的子对象) 与 $∧$ (更小的商对象) 由推出定义.

继而定义如下加法函子 $\mathrm{Rad}$, $\mathrm{Top}$, $\mathrm{Soc}$, $\mathrm{Bot}$.

  1. (R1). $\mathrm{Rad}(X)$, 是极大真子模的 $∩$.
  2. (R2). $\mathrm{Rad}(X)$, $L + \mathrm{Rad}(X) = X$ 当且仅当 $L = X$.
  3. (B1). $\mathrm{Top}(X)$, 是极小真商模的 $∧$.
  4. (B2). $\mathrm{Top}(X)$, $N ∨ \mathrm{Top}(X) = X$ 当且仅当 $N = X$.
  5. (S1). $\mathrm{Soc}(X)$, 是单子对象的 $+$, 亦即极大半单子对象.
  6. (S2). $\mathrm{Soc}(X)$, 是极大本性子模, 本性子对象与非零子对象的 $∩$ 非零.
  7. (T1). $\mathrm{Bot}(X)$, 单商对象的 $∨$, 亦即极大半满商对象.
  8. (T2). $\mathrm{Bot}(X)$, 是极大本性商模, 本性商对象与非零商对象的 $∧$ 非零.

此时有典范 ses:

$$ 0 → \mathrm{Rad}(X) → X → \mathrm{Top}(X) → 0, $$

以及

$$ 0 → \mathrm{Soc} → X → \mathrm{Bot}(X) → 0. $$

(本性子, 商模格). 任意给定 $X$, 则 $X$ 属于以下两类模格.

  1. 模格

    $$ P(X) ↠ \cdots ↠ X ↠ \cdots ↠ \mathrm{Top}(X), $$

    该模格同构于 $\mathrm{Rad}(P(X))$ 的子对象模格.

  2. 模格

    $$ \mathrm{Soc}(X) ↪ \cdots ↪ X ↪ \cdots ↪ I(X), $$

    该模格同构于 $\mathrm{Bot}(I(X))$ 的商对象模格.

特别地, 投射盖 $P(X)$ 与内射包 $I(X)$ 唯一.

以下引理通过模格结构, 细化了将态射的满单分解.

(满单分解). 任意给定态射 $f : X → Y$.

  1. (投射盖, 满满单). 态射 $f$ 分解如下:

    $$ X ↠ P(\operatorname{coim} f)\underset {P(X)}⊔ X ↠ \operatorname{coim} f ↪ Y. $$

    第一处满射模格间的, 商去了部分生成基. 第二处满射是模格内的, 商去了部分生成关系.

  2. (内射包, 满单单). 态射 $f$ 分解如下:

    $$ X ↠ \operatorname{im}(f) ↪ I(\operatorname{im}(f))\underset{\operatorname{im}(f)} × Y ↪ Y. $$

    第二处单射模格间的, 商去了部分 $k$-对偶生成基. 第一处单射是模格内的, 商去了部分 $k$-生成关系.

(证明). 特别地, 有如下结论.

  1. $\mathrm{Top}(f)$ 满当且仅当 $f$ 满;
  2. $\mathrm{Soc}(f)$ 单当且仅当 $f$ 单.

(投射盖). 给定投射模出发的满态射 $π : P ↠ X$ 是投射盖. 称之投射盖, 若以下等价条件成立.

  1. (M1). $\ker π ↪ \mathrm{Rad}(P)$.
  2. (M2). $\mathrm{Top}(P) = \mathrm{Top}(X)$.
  3. (M3). 满满单分解的出发的首尾两项同构.
  4. (L1). 任意 $P' ↠ X$ 类型的态射通过 $π$ 分解.
  5. (L2). $π$ 右极小, 换言之, $α ∘ π = π$ 当且仅当 $α$ 是同构.
  6. (L3). $π ∘ -$ 保持并反射满射.

M1-M3 本质在说 $π$ 是 $[P ↠ \mathrm{Top}(P)]$ 模格内的态射; L1-L3 本质在说极小性.

(内射包). 定义对偶, 此处从略.

稳定范畴等价

对偶函子

(线性空间的 $k$-对偶). 反变正合函子 $D = (-, k)$ 给出反变等价 (对偶) $𝐦𝐨𝐝_A ↔ 𝐦𝐨𝐝_{A^{\mathrm{op}}}$.

函子 $D$ 颠倒单射与满射, 投射对象与内射对象, 投射分解与内射分解, 以及左投射逼近与右内射逼近等等.

($A$-对偶). 左正合反变函子 $(-)^∗ : 𝐦𝐨𝐝_A ↔ 𝐦𝐨𝐝_{A^{\mathrm{op}}}$, 保持投射对象 (限制在 $𝐩𝐫𝐨𝐣$ 上是等价).

(中山函子). 右正合反变函子 $ν := D(-^∗) ≃ - ⊗_A DA$, 颠倒投射对象与内射对象 (等价 $ν : 𝐩𝐫𝐨𝐣 ≃ 𝐢𝐧𝐣$).

中山函子的右伴随是 $(-, DA)_A$, 亦即 $(D(-), A)_{A^{\mathrm{op}}}$.

$𝐦𝐨𝐝_A$ 中不可分解投射对象, 不可分解内射对象, 单对象一一对应. 通过 $\mathrm{Top}(-)$, $\mathrm{Soc}(-)$, $I(-)$ 以及 $P(-)$ 实现对应.

$$ \begin{bmatrix} & P(-) & & \mathrm{Soc} & \\ 𝐩𝐫𝐨𝐣 & ⇆ & 𝐬𝐞𝐦𝐢𝐬𝐢𝐦𝐩 & ⇆ & 𝐢𝐧𝐣\\ & \mathrm{Soc} & & I( -) & \end{bmatrix}. $$

(AR 转置 $\mathrm{Tr}$ 与平移 $τ$). 给定不可分解对象 $X$ 的极小投射表现 $X ≃ \operatorname{cok}(f)$, 记 $\mathrm{Tr}(M) := \operatorname{cok}(f^∗)$, 即 $(-,A)$ 对偶范畴中的投射表现. 使用图表说明:

$$ \begin{bmatrix} & & P_{1} & \rightarrow & P_{0} & \twoheadrightarrow & X\\[6pt] \mathrm{Tr}( X) & \twoheadleftarrow & P_{1}^{*} & \leftarrow & P_{0}^{*} & \hookleftarrow & X^{*}\\[6pt] D\mathrm{Tr}( X) & \hookrightarrow & \nu P_{1} & \rightarrow & \nu P_{0} & \twoheadrightarrow & \nu X \end{bmatrix}. $$

记 $τ(-) := \mathrm{Tr}D (-)$.

AR 转置具有以下熟知性质.

  1. 选取极小内射分解, 则 $\mathrm{Tr} D ≃ τ⁻¹$.
  2. 投射模被 $\mathrm{Tr}$ 与 $τ$ 消灭.
  3. 内射模被 $\mathrm{Tr}D$ 与 $τ⁻¹$ 消灭.
  4. 若选取的并非极小投射分解, 则构造出的 $\mathrm{Tr}(X)$ 与 $τ$ 与相差投射的直和项.
  5. $\mathrm{Tr}$ 保持不可分解非投射对象. 特别地, $\mathrm{Tr}^2 = \mathrm{id}$.

将以上事实总结作以下定理.

(AR 转置与稳定等价). $\mathrm{Tr}$ 具有如下性质

  1. 将投射对象映至 $0$,
  2. 对 $𝐦𝐨𝐝_A$ 与 $𝐦𝐨𝐝_{A^{\mathrm{op}}}$ 的不可分解的非投射对象, $\mathrm{Tr}$ 是双射,
  3. $\mathrm{Tr}^2 = \operatorname{id}$,
  4. 特别地, $\underline{𝐦𝐨𝐝_A} ≃ \underline{𝐦𝐨𝐝_{A^{\mathrm{op}}}}$ 是投射稳定等价.

类似地, $τ : \underline{𝐦𝐨𝐝_A} ≃ \overline{𝐦𝐨𝐝_A} : τ⁻¹$ 是稳定等价. 对 $𝐦𝐨𝐝$ 不可分解对象而言, 以下是双射对应

$$ \begin{bmatrix} & τ & \\ 𝐬𝐢𝐦𝐩 ∖ 𝐢𝐧𝐣 & ⇆ & 𝐬𝐢𝐦𝐩 ∖ 𝐩𝐫𝐨𝐣\\ & τ ^{-1} & \end{bmatrix}. $$

以上,

  1. $τ$ 映投射对象为 $0$, 映非投射对象为非内射对象;
  2. $τ⁻¹$ 映内射对象为 $0$, 映非内射对象为非投射对象.

判别法

(投射对象判别法). 以下是 $P$ 构成投射对象的充要条件.

  1. (L1). $P ∈ 𝐚𝐝𝐝 (A)$.
  2. (E1). $(P,-)$ 正合.
  3. (E2). $\mathrm{Ext}^{≥ 1}(P, -)$ 消失.
  4. (E3). 映至 $P$ 的满射可裂.
  5. (B1). $P ⊗ -$ 保持单射.
  6. (B2). $P ⊗ -$ 将 $A^{\mathrm{op}}$ 中理想的包含对应至单射.
  7. (B3). $(-, DP)$ 将 $A^{\mathrm{op}}$ 中理想的包含对应至满射.

以上 L1 来自自由遗忘伴随, E1-E3 来自正合性, B1-B3 是 Baer 判别法. 内射判别法是对偶的.

(Torsionless 判别法, 证明).

给定 $η_M : M → M^{∗ ∗}$. 以下条件等价.

  1. $η_M$ 是单的.
  2. $M$ 是 $A^n$ 的子对象.
  3. $\mathrm{Ext}^1(\mathrm{Tr}(M), A) = 0$.

四项正合列 (待补)

$$ 0 → \mathrm{Ext}^1(\mathrm{Tr}(M), N) → N ⊗ M → (M^∗, N) → \mathrm{Ext}^1(\mathrm{Tr}(M), N) → 0. $$

中间项是余赋值

$$ N ⊗ M → (M^∗, N),\quad \left[∑\limits_{\text{finite sum}} n_i ⊗ m_i\right] ↦ \begin{bmatrix} M^\ast & \to & N\\ f & \mapsto & \sum n_i \otimes f(m_i) \end{bmatrix}. $$

逼近

(左逼近, 预包络). 称 $f : M → N$ 是左 $𝒳$-逼近, 若 $(f, 𝒳)$ 是满的. 等价地, 任意 $M → X ∈ 𝒳$ 通过 $f$ 分解.

同一概念的三种描述: 左逼近 (右逼近), 预包括 (预覆盖) 以及 $(-, M)\restriction_𝒳$-满 ($(M, -)\restriction_𝒳$-满).

若对象类 $𝒳$ 是 $𝐩𝐫𝐨𝐣$ 或 $𝐢𝐧𝐣$, 则称之投射逼近或内射逼近.

(左投射逼近, 证明). 给定 ses

$$ 0 → L \overset i → P → N → 0, $$

$P$ 投射. 以下等价.

  1. $i$ 是左投射逼近.
  2. $i^∗$ 是满的.
  3. $\mathrm{Ext}^1(N, A) = 0$.

(未命名, 证明). 对 Artin 代数, $M ∈ 𝐦𝐨𝐝_A$ 存在左投射逼近, 以及左极小投射逼近.

特别地, 左投射逼近 $M → P$ 未必是单的, 但存在分解 $M → M^{∗ ∗ } ↪ P$. 特别地, $M^{∗ ∗}$ 是 torsionless 模.

$M^{∗ ∗}$ 是 torsionless 模.

(合冲). 给定 $M$, 定义 $Ω(M) := \ker [P(M) ↠ M]$, 以及 $℧(M) := \operatorname{cok} [M ↪ I(M)]$.

对一般存在足够投射与内射的范畴, 投射盖与内射包未必存在; $Ω$ 与 $℧$ 在稳定范畴中是良定义的.

归纳地, 记 $P_{≥ 0}(M) ↠ M$ 是极小投射分解, $M ↪ I^{≥ 0}(M)$ 是极小内射分解.

(复合). 定义如下.

  1. $℧^k(M) := \mathrm{im}[I^{k-1}(M) → I^{k} (M)]$, 其中 $k ≥ 1$.
  2. $Ω_k(M) := \mathrm{im}[P_k(M) → P_{n-1}(M)]$, 其中 $k ≥ 1$.
  3. $Ω_0(M) := ℧^0 (M) := M$.

定义合冲 $Ω$ 与 $℧$ 时, $𝐩𝐫𝐨𝐣$ 只能在左, $𝐢𝐧𝐣$ 只能在右; 为构造 $X^∙ → P^∙$ 与 $I_∙ → X_∙$ 类型的长 正合列 (且需要更好的性质), 此处引入左投射逼近与右内射逼近.

  1. 记 $C(M)$ 是左极小投射逼近的余核.
  2. 记 $K(M)$ 是右极小投射逼近和核.
  3. 记 $C_{k + 1}(M) := C(C_k(M))$, $C_0(M) = M$.
  4. 记 $K^{k + 1}(M) := K(K^k(M))$, $K_0(M) = M$.

(逼近与合冲在稳定范畴中伴随, 证明).

$Ω_∙$ 与 $C_∙$ 是稳定投射范畴的伴随函子; $℧^∙$ 与 $K^∙$ 是稳定内范畴的伴随函子.

  1. $C_k: \underline{𝐦𝐨𝐝_A} ⇆ \underline{𝐦𝐨𝐝_A} : Ω_k$ 是左右伴随.
  2. $℧^k: \overline{𝐦𝐨𝐝_A} ⇆ \overline{𝐦𝐨𝐝_A} : K^k$ 是左右伴随.
  3. $C_k ≃ \mathrm{Tr}(Ω_k(\mathrm{Tr}))$.
  4. $K^k ≃ τ(℧^k(τ⁻¹))$.

伴随函子的交换图如下 ($↕ := \mathrm{Tr}$, $⇕ := D\mathrm{Tr}D$):

$$ \begin{bmatrix} \underline{𝐦𝐨𝐝_{A^{\mathrm{op}}}} & \substack{C\\⟶ \\⊥\\⟵ \\Ω} & \underline{𝐦𝐨𝐝_{A^{\mathrm{op}}}} & \overset D ↔ & \overline{𝐦𝐨𝐝_{A}} & \substack{K\\⟵ \\⊤\\⟶ \\℧} & \overline{𝐦𝐨𝐝_{A}}\\ ↕ & & ↕ & & ⇕ & & ⇕ \\ \underline{𝐦𝐨𝐝_{A}} & \substack{Ω\\ ⟶\\⊤\\⟵ \\C} & \underline{𝐦𝐨𝐝_{A}} & \underset D ↔ & \overline{𝐦𝐨𝐝_{A^{\mathrm{op}}}} & \substack{℧\\⟵ \\⊥\\⟶ \\K} & \overline{𝐦𝐨𝐝_{A^{\mathrm{op}}}} \end{bmatrix} $$

(反射子范畴). 称全子范畴 $i: 𝒞 ↣ 𝒜$ 是反射 (余范畴) 的, 若 $i$ 是右伴随 (左伴随).

考虑函子像所在的全子范畴, 此时

  1. $Ω_k(\underline{𝐦𝐨𝐝_A}) ↣ \cdots ↣ Ω_1 (\underline{𝐦𝐨𝐝_A}) ↣ \underline{𝐦𝐨𝐝_A}$ 是一列余反射子范畴.
  2. $℧^k(\overline{𝐦𝐨𝐝_A}) ↣ \cdots ↣ ℧^1 (\overline{𝐦𝐨𝐝_A}) ↣ \overline{𝐦𝐨𝐝_A}$ 是一列反射子范畴.

($Ω_1$ 与 $℧^1$, 证明). 实际上, $Ω_1(\underline{𝐦𝐨𝐝_A}) ≃ \underline{𝐬𝐮𝐛(A)}$ 是投射对象之子对象的稳定范畴. $℧^1(\overline{𝐦𝐨𝐝_A}) ≃ \overline{𝐪𝐮𝐨𝐭(A)}$ 是投射对象之商对象的稳定范畴.

维度

Under construction?

著名定理

Thm (Schur).

Thm (Weddeburn-Artin).

Thm (Jordan-Hölder).

Thm (Zassenhaus).

$q$-二次型

Coxeter 反射

几乎可裂 ses

两种构造态射的方式: 不可约, 极小几乎可裂

(Radical). 对 $\mathrm{Hom}$-有限的 Abel 范畴 $𝒜$, 称 $f ∈ \mathrm{Rad}(X,Y)$, 当且仅当 $\operatorname{id}_X ∉ \operatorname{im}(f, X)$. 等价命题省略.

归纳地, $\mathrm{Rad}^{k+1} = \mathrm{Rad}^{k} ∘ \mathrm{Rad}$. 注意: $\mathrm{Rad}^{k}$ 随 $k$ 增加递减.

实际上, 将 $𝒜$ 视作广义的 $k$-代数, $\mathrm{Rad}$ 就是环的 Radical.

(不可约态射). 称 $f ∈ \mathrm{Hom}(X, Y)$ 不可约, 若以下等价命题成立.

  1. (态射分解). $f$ 本身不可裂. 若 $f = a ∘ b$, 则必有 $a$ 可裂单, 或 $b$ 可裂满.
  2. (范畴 $\mathrm{Rad}$). $\mathrm{Rad}^1(X, Y) ∖ \mathrm{Rad}^2(X, Y)$.
  3. 特别地, 不可分解对象间的不可约态射是单或满的.

(不可约空间). 不可约态射集的线性化, 即商 $\mathrm{Irr}(X,Y) := \frac{\mathrm{Rad}(X,Y)}{\mathrm{Rad}^2(X,Y)}$.

(左, 右几乎可裂). 称 $f : L → X$ 是左几乎可裂的, 若 $f$ 不是可裂单, 且任意 $L$ 出发的非可裂单通过 $f$ 分解. 右几乎可裂对偶.

左可裂即存在左逆, 也就是可裂单. 几乎可裂态射是可裂态射的次位.

(几乎可裂态射的结构, 证明). 以下是左右几乎可裂态射的结构.

  1. 左几乎可裂态射的来源 $s(f)$ 是不可约的.
  2. 左几乎可裂态射 $f$ 是单的, 当且仅当 $s(f) ∉ 𝐢𝐧𝐣$.
  3. 左几乎可裂态射 $s(f) ∈ 𝐢𝐧𝐣$, 则形如 $I → \mathrm{Top}(I) ⊕ \cdots$.
  4. 右几乎可裂态射的去向 $t(f)$ 是不可约的.
  5. 右几乎可裂态射 $f$ 是单的, 当且仅当 $t(f) ∉ 𝐢𝐧𝐣$.
  6. 右几乎可裂态射 $t(f) ∈ 𝐢𝐧𝐣$, 则形如 $I → \mathrm{Top}(I) ⊕ \cdots$.

(左, 右极小). 称 $f$ 左极小, 若 $α ∘ f = f$ 蕴含 $α$ 是同构. 右极小定义对偶.

(不可约态射恰是极小几乎可裂态射的直和项). 给定 $f$, 以下等价.

  1. $f$ 不可约.
  2. $f ∈ \mathrm{Rad} ∖ \mathrm{Rad}^2$.
  3. 可以给 $t(f)$ 添加若干直和项, 使得 $\binom{f}{f'}$ 左极小几乎可裂.
  4. 可以给 $s(f)$ 添加若干直和项, 使得 $(f \ f'')$ 右极小几乎可裂.

几乎可裂 ses 的等价定义

给定不可列 ses $0 → L \xrightarrow f M \xrightarrow g N → 0$, 以下是几乎可裂 ses 的等价定义:

  1. $f$ 是左极小几乎可裂态射;
  2. $g$ 是右极小几乎可裂态射;
  3. $f$ 左几乎可裂, $N$ 不可分解;
  4. $g$ 右几乎可裂, $L$ 不可分解;
  5. $L$ 与 $N$ 不可分解, 且 $f$ 与 $g$ 不可约;
  6. ses 形如 $0 → τ N → ⨁ E_i → N → 0$.

若下式不出现 $0$, 则有 $k$-线性空间的同构

$$ \mathrm{Irr}(τ M, τ N) ≃ \mathrm{Irr}(τ N, M) ≃ \mathrm{Irr}(M, N) ≃ \mathrm{Irr}(N, τ ⁻¹ M) ≃ \mathrm{Irr}(τ ⁻¹ M, τ ⁻¹ N). $$

函子语言

对函子语言的系统性阐述见此篇笔记.

($k$-函子范畴). 由 $k$-代数 $A$, 则 $𝐦𝐨𝐝_A$ 是 $k$-范畴. 考虑以下全忠实的嵌入.

  1. (预层). $h_∙ : 𝐦𝐨𝐝_A ↣ 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐭(𝐦𝐨𝐝_A^{\mathrm{op}}, 𝐌𝐨𝐝_k),\quad X ↦ (-,X)$.
  2. (余预层). $h^∙ : 𝐦𝐨𝐝_A ↣ 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐭(𝐦𝐨𝐝_A, 𝐌𝐨𝐝_k)^{\mathrm{op}},\quad X ↦ (X,-)$.

考虑全子范畴的闭包, $\operatorname{im}h_∙$ 在 $𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝐦𝐨𝐝_A, 𝐌𝐨𝐝_k)$ 中关于余核封闭的最小子范畴等价于 $𝐟𝐮𝐧𝐜𝐭(𝐦𝐨𝐝_A^{\mathrm{op}}, 𝐌𝐨𝐝_k)$, 同时这也是 Abel 范畴. $\operatorname{im} h^∙$ 类似.

(伴随). 范畴 $𝐟𝐮𝐧𝐜𝐭(𝐦𝐨𝐝_A^{\mathrm{op}}, 𝐌𝐨𝐝_k)$ 中对象形如

$$ h_X \xrightarrow {h_f} h_Y → F(-) → 0\quad (f : X → Y). $$

$h_∙$ 有左伴随 $\operatorname{cok}h_φ ↦ \operatorname{cok}φ$, 从而是反射子范畴.
类似地, $h^∙$ 有右伴随 $\ker h^φ ↦ \operatorname{ker}φ$, 从而是余反射子范畴.

($k$-米田引理). 对上述两个范畴, 可表函子就是投射对象.

($k$-函子对应). 以预层 $𝐦𝐨𝐝_A ↣ 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐭(𝐦𝐨𝐝_A^{\mathrm{op}}, 𝐌𝐨𝐝_k)$ 为例.

  1. 对任意 Abel $k$-范畴 $𝒜$, $𝐦𝐨𝐝_A → 𝒜$ 类型的 $k$ 函子唯一提升作 $𝐟𝐮𝐧𝐜𝐭(𝐦𝐨𝐝_A^{\mathrm{op}}, 𝐌𝐨𝐝_k) → 𝒜$ 类型的右正合函子. 特别地, $𝒜 = 𝐦𝐨𝐝_A$ 时, 上述分解是伴随的余单位.
  2. 对任意 Abel $k$-范畴 $𝒜$, 保持 $𝐦𝐨𝐝_A$ 中弱正合列的 $𝐦𝐨𝐝_A → 𝒜$ 类型的 $k$ 函子唯一提升作 $𝒜 → 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐭(𝐦𝐨𝐝_A, 𝐌𝐨𝐝_k)^{\mathrm{op}}$ 类型的正合函子.

(几乎可裂映射的函子表述). 给定 $f : X → Y$, 则有以下结论.

  1. $f$ 非可裂单, 当且仅当 $\operatorname{im} (f,X) ⊆ \mathrm{Rad}(X,X)$;
  2. $f$ 非可裂满, 当且仅当 $\operatorname{im} (X,f) ⊆ \mathrm{Rad}(Y,Y)$;
  3. $f$ 是左几乎可裂, 当且仅当 $(-, f)$ 是 $𝐟𝐮𝐧𝐜𝐭(𝐦𝐨𝐝_A^{\mathrm{op}}, 𝐌𝐨𝐝_k)$ 中的投射表现;
  4. 左几乎额可裂态射 $f$ 是极小的, 当且仅当 $(-, f)$ 是 $𝐟𝐮𝐧𝐜𝐭(𝐦𝐨𝐝_A^{\mathrm{op}}, 𝐌𝐨𝐝_k)$ 中的极小投射表现;
  5. $f$ 是右几乎可裂, 当且仅当 $(f, -)$ 是 $𝐟𝐮𝐧𝐜𝐭(𝐦𝐨𝐝_A, 𝐌𝐨𝐝_k)^{\mathrm{op}}$ 中的投射表现;
  6. 右几乎可裂态射 $f$ 是极小的, 当且仅当 $(f, -)$ 是 $𝐟𝐮𝐧𝐜𝐭(𝐦𝐨𝐝_A, 𝐌𝐨𝐝_k)^{\mathrm{op}}$ 中的极小投射表现.

AR 定理

(缺陷公式, 证明). 给定 ses \begin{equation} θ : 0 → K → X → Y → 0. \end{equation} 则有长正合列 \begin{equation} 0 → (-, K) → (-, X) → (-, Y) → K ⊗ \mathrm{Tr}(-) → X ⊗ \mathrm{Tr}(-) → Y ⊗ \mathrm{Tr}(-) → 0. \end{equation}

回顾缺陷公式的证明, 可使用投射分解与 AR 转置快速计算一次导出函子.

($\mathrm{Tor}_{1,2}(Y, \mathrm{Tr}(X))$, 稳定 $\mathrm{Hom}$, 证明). 存在函子的四项正合列

$$ 0 → \mathrm{Tor}_2(Y, \mathrm{Tr}(X)) → Y ⊗ X^∗ → (X, Y) → \mathrm{Tor}_1(Y, \mathrm{Tr}(X)) → 0 $$

此处, $\mathrm{Tor}_1(Y, \mathrm{Tr}(X)) ≃ \underline {(X,Y)}$.

($\mathrm{Tor}_{≥ 3}(Y, \mathrm{Tr}(X))$, 证明). $\mathrm{Tor}_{n+3}(Y, \mathrm{Tr}(X)) ≃ \mathrm{Tor}_{n+1}(Y, X^∗)$.

以下两条对偶命题证明略.

($\mathrm{Ext}^{1,2}(\mathrm{Tr}(M), N)$, AB 公式). 存在函子的四项正合列

$$ 0 → \mathrm{Ext}^1(\mathrm{Tr}(M), N) → N ⊗ M → (M^∗, N) → \mathrm{Ext}^2(\mathrm{Tr}(M), N) → 0 $$

($\mathrm{Ext}^{≥ 3}(\mathrm{Tr}(M), N)$). $\mathrm{Ext}^{n + 3}(\mathrm{Tr}(M), N) ≃ \mathrm{Ext}^{n}(\mathrm{Tr}(M), N)$.

(AR 公式, 证明). 以下是自然同构.

$$ D\underline{(τ⁻¹ N, M)} ≃ \mathrm{Ext}^1(M, N) ≃ D\overline{(N, τM)}. $$

  1. 若 $p.\dim M = 1$, 则 $τ M$ 投射, 故 $\mathrm{Ext}^1(M,N) ≃ D(N, τ M)$.
  2. 若 $i.\dim N = 1$, 则 $τ⁻¹ N$ 内射, 故 $\mathrm{Ext}^1(M,N) ≃ D(τ⁻¹ N, M)$.
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